Polinomios
A definição de polinômio abrange diversas áreas, pois podemos ter polinômios com apenas um termo na expressão algébrica, como por exemplo: 2x, y, 4z, 2, 5, etc. Mas podemos possuir polinômios com uma infinidade de termos. Por exemplo:
P(x)=an xn+a(n-1) x(n-1)+...+a2 x2+a1 x+a0
Como podemos notar, polinômios são compostos pelas várias expressões algébricas, desde aquelas que envolvem apenas números, até as que apresentam diversas letras, potências, coeficientes, entre outros elementos dos polinômios.
Os polinômios se encontram em um âmbito da matemática denominado
álgebra, contudo a álgebra correlaciona o uso de letras, representativas de um número qualquer, com operações aritméticas. Portanto, podemos, assim, efetuar as operações aritméticas nos polinômios, que são: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação e radiciação.
O procedimento utilizado na adição e subtração de
polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal,
operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe os exemplos a
seguir:
Um polinômio qualquer pode ser representado pela expressão:
a0 xn + a1 xn – 1 + a2 xn -2 + ... + an – 1 x + an
A função polinomial será definida por:
P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn -2 + ... + an – 1x + an
Com:
a0 , a1 , a2, … , an – 1 e an são números complexos e n 
N.
• Valor numérico de um polinômio
Se observarmos um polinômio qualquer P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 – x + 2, para acharmos o seu valor numérico que é o valor de P(x), temos que ter um valor para a incógnita x.
Então, se dissermos que x = 2 o valor que encontrarmos para P(2) quando substituirmos x por 2 será o valor numérico do polinômio.
P(2) = 5 . 24 – 3 . 23 + 22 – 2 + 2
P(2) = 5 . 16 – 3 . 8 + 4 – 2 + 2
P(2) = 80 – 24 + 4
P(2) = 56 + 4
P(2) = 60
Concluímos que o valor numérico do polinômio P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 – x + 2, quando
x = 2 será P(2) = 60.
• Raiz ou zero do polinômio
Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) = - 2x3 + 5x2 – x + 1 = 0, a raiz dele será um número qualquer b se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero quando
x = b.
Exemplo:
P(x) = x2 - 1, para calcularmos o zero da função, devemos colocar P(x) = 0, então:
x2 - 1 = 0
x2 = 1
x = + 1 ou - 1
Concluímos que -1 e +1 é raiz do polinômio P(x) = x2 - 1.
• Grau de um polinômio
Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio corresponde ao monômio de maior grau. O único polinômio que não possui grau é o polinômio nulo P(x) = 0, por exemplo:
• P(x) = x3 - x2 + 2x -3 → temos 3 monômios que possuem grau, o que tem maior grau é x3, então o polinômio tem o mesmo grau que ele.
P(x) = x3 - x2 + 2x -3 é do 3º grau.
• P(x) = 5x0 = 5 → grau zero.
Adição
Exemplo 1
Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6.
(x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo
parênteses através do jogo de sinal.
+(–3x2) = –3x2
+(+8x) = +8x
+(–6) = –6
x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos
semelhantes.
x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6
–2x2 + 5x – 7
Portanto: (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) = –2x2
+ 5x – 7
Exemplo 2
Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos:
(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o
jogo de sinal.
4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes.
4x2 – 10x + 6x – 5 + 12
4x2 – 4x + 7
Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7
Subtração
Exemplo 3
Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8.
(5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → eliminar os
parênteses utilizando o jogo de sinal.
– (–3x2) = +3x2
– (+10x) = –10x
– (–6) = +6
5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos
semelhantes.
5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6
8x2 – 19x – 2
Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2
– 19x – 2
Exemplo 4
Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos:
(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através
do jogo de sinais.
2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes.
2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5
0x³ – 6x² + x + 16
– 6x² + x + 16
Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16
Exemplo 5
Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C
= x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule:
a) A + B + C
(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20
9x³ + 6x² – 8x + 45
A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45
b) A – B – C
(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30
3x³ + 4x² – 8x – 15
A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15
Multiplicação de polinômio por monômio
Para entendermos melhor, observe o exemplo:
(3x
2) * (5x
3 + 8x
2 – x) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação
15x
5 + 24x
4 – 3x
3Multiplicação de polinômio por polinômio Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo:
(x – 1) * (x
2 + 2x - 6)
x
2 * (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1)
(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)
x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes.
x³ + x² – 8x + 6
Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.
Demonstrações
através do cálculo algébrico
No estudo sobre o cálculo algébrico aprendemos a operar polinômios, fazer a sua fatoração e encontrar o seu mmc. E com essas informações é possível fazer algumas demonstrações como:
• A soma de dois números inteiros consecutivos será sempre a diferença de seus quadrados.
Considere x como sendo um número inteiro qualquer, o seu sucessor pode ser representado pelo polinômio x + 1. Somando esses dois polinômios chegaremos à seguinte expressão algébrica:
x + (x + 1) = x + x + 1 = 2x + 1
A diferença dos quadrados desses dois números consecutivos será representada pela seguinte expressão algébrica:
(x +1)
2 - x
2 = (x
2 + 2x + 1) – x
2 = x
2 + 2x + 1 - x
2 = 2x + 1
Comparado as duas expressões algébricas encontradas, podemos confirmar que
x + (x + 1) = (x +1)
2 - x
2 • A soma de cinco números inteiros consecutivos será sempre múltiplo de 5.
Considere como sendo cinco números inteiros consecutivos os polinômios: x-2 ; x-1 ; x ; x + 1 ; x + 2.
Um número para que seja múltiplo de cinco pode ser escrito da seguinte forma: 5x, onde x é um número inteiro qualquer, ou seja, qualquer número que multiplicado por 5 será múltiplo de cinco.
Somando os cinco números consecutivos teremos:
x - 2 + x - 1 + x + x + 1 + x + 2 = 5x -3 + 3 = 5x, portanto, é verdadeiro dizer que a soma de 5 números inteiros consecutivos terá como resposta um número múltiplo de 5.
• A soma de dois números inteiros ímpares será sempre um número par.
Para que um número seja par é preciso que ele esteja escrito da seguinte forma: 2x, onde x representa um número inteiro qualquer. Dessa forma, um número ímpar seria igual a 2x +1.
Somar dois números ímpares seria o mesmo que:
(2x +1) + (2x + 1) = 2 (2x + 1). A expressão algébrica (2x + 1) terá valor numérico igual a um número inteiro qualquer, quando multiplicado por 2 (2x + 1) irá resultar em um número par.
Divisão de polinômio por polinômio
Em toda divisão temos
dividendo, divisor, quociente e resto, como estamos falando de divisão de polinômio por polinômio, teremos:
Para o
dividendo um polinômio
G(x) Para o
divisor um polinômio
D(x) Para o
quociente um polinômio
Q(x)Para o
resto (podendo ser zero) um polinômio
R(x)
Prova real: 
Tem algumas observações a serem feitas, como:
? ao final da divisão o resto sempre tem que ser menor que o divisor:
R(x) < D(x).
? quando o resto for igual a zero, a divisão é considerada exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor.
R(x) = 0.
Observe a divisão de polinômio por polinômio abaixo, vamos partir de um exemplo, cada passo tomado no desenvolvimento da divisão será explicado.
Dada a divisão
(12x3 + 9 – 4x) : (x + 2x2 + 3) Antes de começar a operação temos que fazer algumas verificações:
? se todos os polinômios estão em ordem conforme as potências de x.
No caso da nossa divisão devemos ordenar, ficando assim:
(12x3 - 4x + 9) : (2x2 + x + 3) ? observar se no polinômio G(x) não está faltando algum termo, se estiver devemos completar.
No polinômio 12x
3 - 4x + 9 está faltando o termo x
2, completando ficará assim:
12x3 + 0x2 - 4x + 9 Agora podemos iniciar a divisão:
? G(x) tem 3 termos e D(x) tem 3 termos. Pegamos o 1º termo de G(x) e dividimos pelo 1º termo de D(x):
12x3 : 2x2 = 6x, o resultado
multiplicará o polinômio
2x2 + x + 3 e o resultado dessa multiplicação
subtrairemos pelo polinômio
12x3 + 0x2 - 4x + 9. Assim teremos:
? R(x) > D(x), podemos dar continuidade à divisão, repetindo o mesmo processo anterior. Achando agora o segundo termo de Q(x).
R(x) < D(x), não damos continuidade a divisão, concluindo que:
O quociente é 6x – 3 e o resto é –19x + 18.
Divisão de polinômios
Polinômio é uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios. Na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes).
Quando trabalhamos com divisão, utilizamos também a multiplicação no processo. Observe o seguinte esquema:
Vamos dividir um polinômio por um monômio, com o intuito de entendermos o processo operatório. Observe:
Exemplo 1:
Caso queira verificar se a divisão está correta, basta multiplicar o quociente pelo divisor, com vistas a obter o dividendo como resultado.
Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo4x * (3x² + x – 2) + 0
12x³ + 4x² – 8x
Caso isso ocorra, a divisão está correta. No exemplo a seguir, iremos dividir polinômio por polinômio. Veja:
Exemplo 2:
Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo(2x – 5) * (5x – 9) + (–5)
10x² – 18x – 25x + 45 + (–5)
10x² – 43x + 45 – 5
10x² – 43x + 40
Observe o exemplo de número 3:
Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo
(3x² + x – 1) * (2x² – 4x + 5) + 0
6x4 – 12x³ + 15x² + 2x³ – 4x² + 5x – 2x² + 4x – 5
6x4 – 10x³ + 9x² + 9x – 5
Exemplo 4:
Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo
(4x – 5) * (3x² – x + 2) + (2x + 7)
12x³ – 4x² + 8x – 15x² + 5x – 10 + (2x + 7)
12x³ – 19x² + 13x – 10 + 2x + 7
12x³ – 19x² + 15x – 3
Divisão de Polinômios utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini
Compreendendo um dispositivo que auxilia na divisão de polinômios: o dispositivo de Briot-Ruffini. Esse dispositivo utiliza uma raiz do polinômio e seus coeficientes para calcular a divisão do polinômio pela sua raiz.
Podemos ver no artigo de Divisão de polinômios o método tradicional para a divisão, utilizando o algoritmo da divisão. Entretanto, dois matemáticos (Paolo Ruffini e A. Briot) criaram um dispositivo prático para realizar esta divisão, dispositivo este que recebeu seus nomes: dispositivo de Briot-Ruffini.
Esse algoritmo é utilizado para dividirmos polinômios por um binômio do tipo (x-a). Esse dispositivo usará apenas os coeficientes do polinômio e o termo constante (a).
Chamemos de p(x) o polinômio a ser dividido (dividendo); e h(x) o divisor no qual h(x)=x-a. Com isso, a estrutura do dispositivo é a seguinte:
Para melhor compreendermos como este dispositivo funciona, utilizá-lo-emos em um exemplo, e explicaremos passo a passo seu processo.
Exemplo:
Efetue a divisão de p(x) por h(x), na qual:
Agora multiplique esse termo repetido pelo divisor, o resultado será somado ao próximo termo do dividendo p(x).
Repita o processo agora para o novo elemento, multiplique esse número pelo divisor e some-o ao próximo termo.
Obtemos o resto 0 e um quociente da seguinte forma:
Para verificarmos se a divisão foi feita de forma correta, podemos utilizar o algoritmo da divisão que diz o seguinte:
Dessa forma, temos:
Logo, a divisão foi feita corretamente, pois ao verificar os termos da divisão no algoritmo da divisão constatamos que a igualdade é verdadeira.
Equação Polinomial
Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio:
p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 de grau n, com n ≥ 1. Veja alguns exemplos:
x4 + 9x2 – 10x + 3 = 0
10x6 – 2x5 + 6x4 + 12x3 – x2 + x + 7 = 0
x8 – x6 – 6x + 2 = 0
x10 – 6x2 + 9 = 0
As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto solução da equação. Para as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos casos em que o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a obtenção da solução.
Teorema Fundamental da Álgebra (TFA)
Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa.
Exemplo 1
Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a raiz da equação:
2x4 + kx3 – 5x2 + x – 15 = 0
Se 2 é raiz da equação, então temos:
2(2)4 + k(2)3 – 5(2)2 + 2 – 15 = 0
2*16 + k*8 – 5*4 + 2 – 15 = 0
32 + 8k – 20 + 2 – 15 = 0
8k + 34 – 35 = 0
8k – 1 = 0
8k = 1
k = 1/8
Temos que o valor do coeficiente k é 1/8.
Exemplo 2
Determine o valor de m, sabendo que –3 é raiz da equação: mx3 + (m + 2)x2 – 3x – m – 8 = 0.
Temos que:
m(–3)3 + (m + 2)( –3)2 – 3(–3) – m – 8 = 0
m(–27) + (m + 2)(9) + 9 – m – 8 = 0
–27m + 9m + 18 + 9 – m – 8 = 0
–27m + 9m – m = 8 – 18 – 9
– 19m = –19
m = 1
O valor de m é 1.
Mínimo Múltiplo Comum de Polinômios
As expressões algébricas fracionárias são aquelas em que o denominador possui letras, isto é, termos variáveis. Veja os exemplos:
No caso dessas frações algébricas, antes de realizarmos a soma devemos aplicar o cálculo do mmc, no intuito de igualar os denominadores, pois sabemos que somente adicionamos frações com denominadores iguais.
Para determinarmos o mmc de polinômios, fatoramos cada polinômio individualmente, e logo em seguida multiplicamos todos os fatores sem repetição dos comuns. A utilização dos casos de fatoração é de extrema importância para a determinação de algumas situações envolvendo mmc. Observe o cálculo do mmc entre polinômios nos exemplos a seguir:
Exemplo 1
mmc entre 10x e 5x² – 15x
10x = 2 * 5 * x
5x² – 15x = 5x * (x – 3)
mmc = 2 * 5 * x * (x – 3) = 10x * (x – 3) ou 10x² – 30x
Exemplo 2
mmc entre 6x e 2x³ + 10x²
6x = 2 * 3 * x
2x³ + 10x² = 2x² * (x + 5)
mmc = 2 * 3 * x² * (x + 5) = 6x² * (x + 5) ou 6x³ + 30x²
Exemplo 3
mmc entre x² – 3x + xy – 3y e x² – y²
x² – 3x + xy – 3y = x(x – 3) + y(x – 3) = (x + y) * (x – 3)
x² – y² = (x + y) * (x – y)
mmc = (x – 3) * (x + y) * (x – y)
Exemplo 4
mmc entre x³ + 8 e do trinômio x² + 4x + 4.
x³ + 8 = (x + 2) * (x² – 2x + 4).
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
mmc = (x + 2)² * (x² – 2x + 4)
Multiplicidade de uma raiz
Na resolução da equação do 2º grau x
2 – 6x + 9 = 0, encontramos duas raízes iguais a 3. Utilizando o teorema da decomposição, fatoramos o polinômio e obtemos:
x
2 – 6x + 9 = 0 = (x – 3)(x – 3) = (x – 3)
2
Nesse caso, dizemos que 3 é raiz de multiplicidade 2 ou raiz dupla da equação.
Dessa forma, se um polinômio fatorado resulta a seguinte expressão:
Podemos dizer que:
x = -5 é raiz com multiplicidade 3 ou raiz tripla da equação p(x) = 0
x = -4 é raiz com multiplicidade 2 ou raiz dupla da equação p(x) = 0
x = 2 é raiz com multiplicidade 1 ou raiz simples da equação p(x) = 0
De maneira geral, dizemos que r é uma raiz de multiplicidade n, com n ≥ 1, da equação p(x) = 0, se:
Observe que p(x) é divisível por (x – r)
m e que a condição q(r) ≠ 0 significa que r não é raiz de q(x) e garante que a multiplicidade da raiz r não é maior que m.
Exemplo 1. Resolva a equação x
4 – 9x
3 + 23x
2 – 3x – 36 = 0, sabendo que 3 é raiz dupla.
Solução: considere p(x) como sendo o polinômio dado. Assim:
Note que q(x) é obtido fazendo a divisão de p(x) por (x – 3)
2.
Fazendo a divisão pelo dispositivo prático de Briot –Ruffini, obtemos:
Após a realização da divisão, vemos que os coeficientes do polinômio q(x) são 1, -3 e -4. Assim, q(x) = 0 será: x
2 – 3x – 4 = 0
Vamos resolver a equação acima para determinarmos as demais raízes.
x
2 – 3x – 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 ou x = 4
Portanto, S = {-1, 3, 4}
Exemplo 2. Escreva uma equação algébrica de grau mínimo tal que 2 seja raiz dupla e – 1, raiz simples.
Solução: Temos que:
(x – 2)(x – 2 )(x – (-1)) = 0
Ou
